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丸棒のねじり変形と断面二次極モーメント

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丸棒のねじり変形と断面二次極モーメント

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せん断ひずみと剪断応力

 図1は微小正方形$abcd$の4辺に剪断応力$τ$が作用した場合を示したものである。この場合、辺$cd$を固定して見れば、辺$ab$は$a_1b_1$へと移動する。このとき微小角$ada_1$で表される$γ$がせん断ひずみと呼ばれるものである。

図1.せん断ひずみγと剪断応力τ

 このとき、せん断ひずみ$γ$とせん断応力$τ$の関係は次式で表される。

$γ=\dfrac{τ}{G}$ ・・・(1)

(1)式における$G$は材料の機械的性質によって定まるもので、せん断弾性係数、あるいは剛性率と呼ばれている。せん断弾性係数$G$と縦弾性係数$E$との間には次の関係が成り立つ。

$G=\dfrac{E}{2(1+μ)}$ ・・・(2)

(2)式の$μ$はポアソン比で、軸に引張荷重が作用したとき軸(縦)方向に伸びが生ずるとともに軸と直角(横)方向に縮みが生ずるが、(横縮み)/(縦伸び)をポアソン比といい$μ$で表す。ポアソン比$μ$は材料固有の値であり、構造用鋼材では$μ=0.3$である。

鋼材の縦弾性係数$E$は$21.000kgf/mm^2$ であるから$G$は、$G=\dfrac{21,000}{2(1+0.3)}=8,076kgf/mm^2$ と求められる。

丸棒のねじり変形

 上端が固定され、下端にねじりモーメント$M_t$が作用する丸棒を考える(図2)。ねじり角が小さければねじられた後も断面は円形を保ち、その直径および二つの横断面間の距離$dx$は変わらない。丸棒の、固定端から$x$の距離と固定端から$x+dx$の距離にある2つの断面で切り取った部分($dx$長さ部分)を図3に示す。

図2.棒のねじり変形

丸棒の表面の変形

 図3の$dx$長さ部分に関していうと、固定端から$x$の距離にある図3の上面に対して、固定端から$x+dx$の距離にある下面は$dφ$だけねじれている。$φ$は図3の上端が棒の固定端に対して生ずるねじれ角である。これが棒の先端に作用するねじれモーメント$M_t$によって丸棒の表面に生じる変形である。

図3.軸のねじり変形(dx長さ部分)

この変形によって、棒$dx$部の表面にねじれが生じ、下面の点$c$は$c_1$に、点$d$は$d_1$へと位置を変える。このときのせん断ひずみ$γ$は、

$γ=\dfrac{cc_1}{ac_1}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dφ}{dx}d$ ・・・(3)

$\dfrac{dφ}{dx}$は軸の単位長さあたりのねじれ角である。これを$θ$とおけば、

$γ=\dfrac{1}{2}θd$ ・・・(4)

図3の上下面に作用するせん断応力$τ$(上面では$b→a$、下面では$c→d$)が上記せん断ひずみ$γ$を生じさせるのであるから、(1)式より

$τ=Gγ=\dfrac{1}{2}Gθd$ ・・・(5)

となる。

丸棒の内部の変形

 丸棒のねじり変形においては、丸棒の横断面は変形後も円の平面を保つため、図3の上面に対する下面のねじれ角は丸棒の表面以外でも$dφ$だけねじれている。したがって軸心から$r$の距離にある部分の剪断応力$τ$は、

$τ=Gθr$ ・・・(6)

で表される。よって、図4の微小部分$dA$に作用するねじりモーメント$dM_t$は、$\dfrac{d}{2}=R$とすると、

$dM_t=dA×Gθr×r=rdαdr×Gθr×r$ ・・・(7)

丸棒断面全体に作用するねじりモーメント$M_t$は、(7)式を断面全体について積分すれば求まるので、

$M_t=\int_S dM_t=\int_0^R 2πrdr×Gθr×r=\int_0^R 2πGθr^3dr$

$M_t=2πGθ\int_0^R r^3dr=\dfrac{πGθ}{2}R^4$ ・・・(8)

(8)式の$R$は$R=\dfrac{d}{2}$であるから、

$M_t=Gθ\dfrac{πd^4}{32}$ ・・・(9)

$\dfrac{πd^4}{32}$を$I_p$と書くと

$θ=\dfrac{M_t}{G}\dfrac{32}{πd^4}=\dfrac{M_t}{GI_p}$ ・・・(10)

図4.ねじり変形を受ける棒の断面

棒のねじりと最大剪断応力

棒の全長は$l$であるから、棒の全長のねじり$φ$は、

$φ=θl=\dfrac{M_tl}{GI_p}$ ・・・(11)

となる。

ねじりによる最大せん断応力$τ_m$は軸表面に作用するので(5)式と(10)式から、

$τ_m=\dfrac{1}{2}Gθd=\dfrac{1}{2}Gd \dfrac{M_t}{GI_p}=\dfrac{M_td}{2I_p}$ ・・・(12)

$I_p= \dfrac{πd^4}{32} $と置き換えれば

$τ_m=\dfrac{16M_t}{πd^3}$  ・・・(13)

なお、上で用いた $I_p$のことを断面二次極モーメントという。

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