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式の展開と因数分解および2次方程式の根の公式

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式の展開

式の展開の代表的なものとして

$(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+ad+bc+bd$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

がある。

式の展開とは、一般的に積の形で書かれた文字式を和の形で書かれた文字式に変形することである。すなわち上式のそれぞれにおいて、左辺の積の形で表された式を右辺の和の形に変形することをいう。

因数分解とは、式の展開と逆、すなわち和の形で書かれた文字式を積の形の文字式に変形することである。この因数分解の手法は、様々な場面で出てくる方程式を解くときに有用である。なぜならば、私達は

A✕B = 0

ならば、AかBの何れかが0でなければならないことを知っている。AもBも0でないならば、A✕Bが0になることはありえないからである。

いま、ある現象を左右するパラメータx が
$x^2+(a+b)x+ab=0$
という方程式を満たすことがわかった場合、この式の左辺を因数分解して
$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
と変形できるから

$(x+a)(x+b)=0$
を求めればよい。

従って、$x+a=0$ あるいは $x+b=0$
の何れかが満たされねばならぬから

$x=-a$、$x=-b$ の何れかが求めるxの値である。

実際の問題においては、境界条件など、$x$が取りうる範囲内にある方が答えとなる。

本記事は、受験対策などのように難しい問題を解くための技術的な手法を説明するものでなく、数学が苦手な人が高校レベルの数学を楽しく考え、数学的な考え方を身につけることを目的とするものである。

それ故、因数分解については、実際に必要な場合にその都度説明することとし、ここでは式の展開で示した代表的なものを示すに留めることとする。

代表的な因数分解の式

$ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)$
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

2次方程式の根の公式の導出

式の変形、式の展開、平方根、指数表示など学んできたので、それらを用いて2次方程式の根の公式を求めてみる。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の左辺を次のように変形する。

$ax^2+bx+c=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2})+c$

右辺の式を更に変形すれば

$a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2})+c =a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2})-\dfrac{b^2}{4a}+c$

さらに右辺を変形すれば

$ a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2})-\dfrac{b^2}{4a}+c=a(x+\dfrac{b}{a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a} $

すなわち、2次方程式は

$a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0$

と書き換えることができる。この式はさらに

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

と書き換えられる。この両辺をaで割れば

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺の平方根をとれば

$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt(b^2-4ac)}{2a}$

これより

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt(b^2-4ac)}{2a}$

と根の公式が導かれる。

このように、文字式の変形と、指数表示、平方根を学べば、中学校で覚えた根の公式を簡単に導くことができる。

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