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関数と変数、二次元直交座標と一次関数

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今回学ぶこと

・関数、変数の意味を知る

・n次関数の意味を知る

・二次元直交座標の意味を知る

・二次元座標上の一次関数を学ぶ

・傾き、y切片、x切片の意味を知る

・一次関数と一次方程式の関係を知る

関数

 ある変数(数値が変動する数)$x$に対して、$x$を含む式$f(x)$で決定される数値$y$があるとき、$y$を$x$の関数といい$y=f(x)$ と表す。

$y=f(x)$ の具体例として

$y=ax+b$

の形で表されるものを一次関数といい

$y=ax^2+bx+c$

の形で表されるものを二次関数という。

二次元直交座標

 変数$x$と$x$の関数$y$との関係を図示するのに、一般的に二次元直交座標が用いられる。

これは、水平方向に引いた$x$軸と$x$軸に直交する$y$軸で作られる二次元平面で、$x$軸と$y$軸の交点を、$x$軸・$y$軸双方のゼロ点とし原点という。原点は英語の「原点」を表すthe originの頭文字Oで表すことが多い。

 二次元直交座標においては、平面上のあらゆる点にその点の座標($x$座標と$y$座標の組合せ)が対応する。

 図1に$x-y$二次元直交座標を示す。図中の$A$点から$x$軸におろした垂線と$x$軸の交点を$P$、$A$点から$y$軸におろした垂線と$y$軸の交点を$R$としたときの$P$点のx座標を$a$、$R$点の$y$座標を$b$とする。このとき$A$点の座標は$(a,b)$で表される。原点Oの座標は$(0,0)$で表される

 図には座標$(c,d)$の$B$点も示したが、$B$点から$x$軸におろした垂線と$x$軸の交点を$Q$、その$x$座標を$c$、$B$点から$y$軸におろした垂線と$y$軸の交点を$S$、その$y$座標を$d$とすると、$B$点の座標は$(c,d)$で表される。この場合、$Q$点、$S$点はいずれも原点よりマイナス側にあり、$c$および$d$は何れも負値であることがわかる。

図1.x-y2次元直交座標

二次元直交座標上の一次関数

図2に一次関数を$x-y$二次元直交座標上で表した。

図2.1次関数(傾き、y切片が正の場合)

一次関数の$y$切片と傾き

いま、図中の一次関数

$y=ax+b$   ・・・(1)

において、$a$を傾き、$b$を$y$切片(せっぺん)と呼んでいる。その意味を考えてみよう。

(1)式の$x$に$0$を代入してみよう。そうすると

$y=a×0+b=b$   ・・・(2)

となり、一次関数(1)は$x=0$のとき$y=b$となり、一次関数が$y$軸と交わる$y$切片($P$点)に対応することがわかる。すなわち、(1)式の$b$は一次関数が$y$軸と交わる点の$y$座標を表すことがわかる。

次に(1)式の$x$に$1$を代入すると、

$y=a×1+b=a+b$   ・・・(3)

となり、$y$の値は(2)のときより$a$だけ増加している。すなわち、(1)式の$a$は、$x$の$1$の増加に対して$y$の増加が$a$であることを表していることがわかる。一次関数の$x$の係数(この場合の$a$)を一次関数の「傾き」という。

一次関数と一次方程式の関係

一次関数(1)で$y=0$とおくと

$0=ax+b$ ・・・(4)

これを$x$について解くと

$x=-\dfrac{b}{a}$ ・・・(5)

これは(1)式で$y=0$となる点、すなわち$Q$点の$x$座標を表している。

これから、一次方程式を解くということは、同じ式で表される一次関数が$x$軸と交わる点($x$切片)の$x$座標を求めることと同じであることがわかる。

図3.1次関数(傾き、y切片が負の場合)

図3にはもう一つの一次関数の例として

$y=mx+n$ ・・・(6)

を示したが、この一次方程式は傾き$m$,$y$切片$n$で、図から$m$,$n$何れも負値であることがわかる。

一次関数の具体例

一定速度で移動する物体の移動時間と物体の位置の関係

一定速度で移動する物体の移動時間と物体の位置の関係は一次関数で表される。

いま、$t=0$で基準点から離れた$P$の地点にある物体が、速度$v$で基準点から遠ざかるように移動する場合の時刻$t$における物体の位置を$s$とすると、$s$は時刻$t$の一次関数

$s=vt+s_0$ ・・・(7)

で表される。これを示したのが図4である。ここで$s_0$は$t=0$における物体の位置である。

図4.速度vで移動する物体の位置と時間の関係

図4で$P$点は時刻$t=0$のときの物体の位置で、$y=0$の基準点から$s_0$の距離にある。$t=t_1$のときの$s$を求めれば、$(7)$式の$t$を$t_1$とおけば、

$s=vt_1+s_0$ ・・・(8)

が求める解である。

板バネに作用する力$P$と先端部の変位$y$と変位角$θ$

 長さ$l$の片持梁の先端に作用する力$P$と先端部の変位$y$および変位角$θ$の関係は、梁の素材の弾性係数を$E$、断面の形状によって決まる断面2次モーメントを$I$とすると、

図5.片持梁の先端の変位と変位角

バネの先端の垂直方向の変位$y$は

$y=\dfrac{l^3}{3EI}P$

で表され、バネの先端の角度変位$θ$は

$θ=\dfrac{l^2}{2EI}P$

で表される。
 ここで弾性係数$E$、断面2次モーメント$I$、板バネの長さ$l$は定まった値であるから、板バネ先端の垂直方向の変位$y$および先端の角度変位$θ$はいずれも先端に垂直方向に作用する力$P$の一次関数であることがわかる。

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